Supposing: Solutions to Problems

Exercise 3.1

1. \(P\: ⊢ \: Q→(P∧Q)\)

   1	(1) \( P \)	A
   2	(2) \( Q \)	A
   1,2	(3) \( P ∧ Q \)	1,2 ∧I
   1	(4) \( Q → (P ∧ Q) \)	2,3 CP

2. \((P→Q)∧(P→R)⊢P→(Q∧R)\)

   1	(1) \( (P → Q) ∧ (P → R) \)	A
   2	(2) \( P \)	A
   1	(3) \( P → Q \)	1 ∧E
   1	(4) \( P → R \)	1 ∧E
   1,2	(5) \( Q \)	3,2 MP
   1,2	(6) \( R \)	4,2 MP
   1,2	(7) \( Q ∧ R \)	5,6 ∧I
   1	(8) \( P → (Q ∧ R) \)	2,7 CP

3. \(P→(Q→R) ⊢ Q→(P→R)\)

   1	(1) \( P → (Q → R) \)	A
   2	(2) \( Q \)	A
   3	(3) \( P \)	A
   1,3	(4) \( Q → R \)	3,1 MP
   1,2,3	(5) \( R \)	4,2 MP
   1,2	(6) \( P → R \)	3,5 CP
   1	(7) \( Q → (P → R) \)	2,6 CP

4. \(P→Q ⊢ (Q→R)→(P→R)\)

   1	(1) \( P → Q \)	A
   2	(2) \( Q → R \)	A
   3	(3) \( P \)	A
   1,3	(4) \( Q \)	1,3 MP
   1,2,3	(5) \( R \)	2,4 MP
   1,2	(6) \( P → R \)	3,5 CP
   1	(7) \( (Q → R) → (P → R) \)	2,6 CP

5. \(P→(P→Q) ⊢ P→Q\)

   1	(1) \( P → (P → Q) \)	A
   2	(2) \( P \)	A
   1,2	(3) \( P → Q \)	1,2 MP
   1,2	(4) \( Q \)	3,2 MP
   1	(5) \( P → Q \)	2,4 MP

6. \(P→(Q→R) ⊢ (P∧Q)→R\)

   1	(1) \( P → (Q → R) \)	A
   2	(2) \( P ∧ Q \)	A
   2	(3) \( P \)	2 ∧E
   2	(4) \( Q \)	2 ∧E
   1,2	(5) \( Q → R \)	1,3 MP
   1,2	(6) \( R \)	5,4 MP
   1	(7) \( (P ∧ Q) → R \)	2,6 CP

7. \((P∨Q)→R ⊢ P→R\)

   1	(1) \( (P ∨ Q) → R \)	A
   2	(2) \( P \)	A
   2	(3) \( P ∨ Q \)	2 ∨I
   1,2	(4) \( R \)	1,3 MP
   1	(5) \( P → R \)	2,4 CP

8. \(¬P ⊢ ¬(P∧Q)\)

   1	(1) \( ¬P \)	A
   2	(2) \( P ∧ Q \)	A
   2	(3) \( P \)	2 ∧E
   	(4) \( (P ∧ Q) → P \)	2,3 CP
   1	(5) \( ¬(P ∧ Q) \)	4,1 MT

9. \(¬(P∨Q)⊢¬P∧¬Q\)

   1	(1) \( ¬(P ∨ Q) \)	A
   2	(2) \( P \)	A
   2	(3) \( P ∨ Q \)	2 ∨I
   	(4) \( P → (P ∨ Q) \)	2,3 CP
   1	(5) \( ¬P \)	4,1 MT
   6	(6) \( Q \)	A
   6	(7) \( P ∨ Q \)	6 ∨I
   	(8) \( Q → (P ∨ Q) \)	6,7 CP
   1	(9) \( ¬Q \)	8,1 MT
   1	(10) \( ¬P ∧ ¬Q \)	5,9 ∧I

10. \(P→¬P⊢¬P\)

    1	(1) \( P \)	A
    2	(2) \( P → ¬P \)	A
    1,2	(3) \( ¬P \)	2,1 MP
    1	(4) \( (P → ¬P) → ¬P \)	2,3 CP
    1	(5) \( ¬¬P \)	1 DN
    1	(6) \( ¬(P → ¬P) \)	4,5 MT
    	(7) \( P → ¬(P → ¬P) \)	1,6 CP
    2	(8) \( ¬¬(P → ¬P) \)	2 DN
    2	(9) \( ¬P \)	7,8 MT